Nesse caso, como o corpo é abandonado, a velocidade inicial é zero, e a aceleração é a gravidade (g). Então, a equação horária da velocidade pode ser escrita como:
\[ v=v_{0}+a\qquad t \qquad \xrightarrow{}\qquad v=g \qquad t \]
A velocidade instantânea é diretamente proporcional ao tempo de queda.
Além disso, S-S0 (\(\Delta S\)) será a altura que o corpo terá percorrido durante certo tempo. Assim, pode-se escrever a equação horária da posição como:
\[ S-S_{0}=v_{0}\qquad t + \dfrac{a\qquad t^{2}}{2} \qquad \xrightarrow{}\qquad H=\dfrac{g\qquad t^{2}}{2} \]
Essa equação denota que a altura percorrida depende do quadrado do tempo de queda, ou seja, uma relação quadrática. Assim, o gráfico H x t será uma parábola, como é esperado em um MRUV.
Caso seja desejado o tempo de queda, basta isolar t na equação anterior, obtendo:
\[ t=\sqrt{\dfrac{2H}{g}} \]
É importante prestar atenção no referencial adotado. Nessa equação, H é a altura percorrida nos t segundos de queda, de cima para baixo.
O referencial muda a diireção das forças.
Ao aplicar essas equações, é muito comum aproximar a gravidade na superfície da Terra para g=10 m/s2. Se for considerada uma situação na Lua ou em outro planeta, a gravidade assumirá outro valor.
Exemplo: uma pedra é abandonada do topo de um edifício de 45 metros de altura. Determine:
- A altura em que a pedra se encontra após 1 segundo de queda;
- O tempo total de queda, até a pedra atingir o chão;
- A velocidade com a qual a pedra chega no chão.
Resolução:
- Depois de 1 segundo, a pedra terá percorrido:
\[ H=\dfrac{g\qquad t^{2}}{2} \qquad \xrightarrow{}\qquad H=\dfrac{10\cdot 1^{2}}{2}=5 \qquad m \]
Contudo, como a altura inicial era de 45 metros, e a pedra caiu 5 metros, sua altura após 1 segundo será de 40 metros em relação ao chão.
- Para o tempo, pode-se utilizar a mesma equação, mas dessa vez com a altura total, a fim de descobrir o tempo total:
\[ H=\dfrac{g\qquad t^{2}}{2} \qquad \xrightarrow{}\qquad 45=\dfrac{10\cdot t^{2}}{2} \]
\[ \dfrac{90}{10}=t^{2}\qquad \xrightarrow{}\qquad 9=t^{2} \qquad \xrightarrow{}\qquad t=3 \qquad s \]
Também poderia ser utilizada diretamente a fórmula para o tempo, que fornece o mesmo resultado:
\[ t=\sqrt{\dfrac{2 \qquad H}{g}} \qquad \xrightarrow{}\qquad t=\sqrt{\dfrac{2\cdot 45}{10}}\qquad \xrightarrow{}\qquad t=3 \qquad s \]
- Sabendo o tempo de queda, pode-se utilizar a função horária da velocidade:
\[ v=g \qquad t \qquad \xrightarrow{}\qquad v=10\cdot 3 \qquad \xrightarrow{}\qquad v=30 \qquad m/s \]
Também poderia-se determinar a velocidade através da equação de Torricelli:
\[ v^{2}={v_{0}}^{2} + 2\cdot a\cdot \Delta S \qquad \xrightarrow{}\qquad v^{2}=0^{2}+2\cdot10\cdot45 \]
\[ v^{2}=900 \qquad \xrightarrow{}\qquad v=30 \qquad m/s \]
Desse exemplo, percebe-se que em 3 segundos de queda, um corpo percorre 45 metros. A tabela abaixo correlaciona os tempos de queda mais comuns em problemas, com suas respectivas alturas (através da fórmula H=\frac{g t^{2}}{2}):
| Tempo (s) |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
| Altura (m) |
5 |
20 |
45 |
80 |
125 |
180 |
Ainda no exemplo anterior, foi visto que no primeiro segundo de queda a pedra percorreu 5 metros. É possível calcular o quanto ela percorreu no 2º e no 3º segundos de queda:
Com t=2 segundos, têm-se H=20 metros. Ou seja, em dois segundos, o corpo percorreu 20 metros. Mas desses 20 metros, 5 já haviam sido percorridos no primeiro segundo. Assim, entre t=1 e t=2, a pedra percorreu 15 metros.
Usando o mesmo raciocínio, entre t=2 e t=3 a pedra percorreu 45-20 = 25 metros.
As distâncias percorridas a cada segundo extra de queda formam uma progressão aritmética, de razão igual à aceleração, que tem relação com a P.A. de Galileu.
| entre 0 e 1 segundo |
entre 1 e 2 segundos |
entre 2 e 3 segundos |
diferença constante=razão da PA |
| 5 metros |
15 metros |
25 metros |
10 metros |
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