Para explicar conjuntos complementares, vamos tomar os conjuntos
$$A=\{1,2,3,4,5,6\}$$
e
$$B=\{1,2,3\}$$
Note que faltam os elementos 4, 5 e 6 para o conjunto \(B\) se completar a fim de se tornar o conjunto \(A\). E em forma de operações de conjuntos, tal complemento nada mais é que a diferença entre eles, isto é:
$$A-B=\{4,5,6\}$$
Portanto, de modo mais geral, temos que, dados dois conjuntos \(A\) e \(B\), o complementar de \(B\) em relação a \(A\) é:
$$\complement_{A}^{B}=\{x\in A\mid x\notin B\}$$
Em relação ao exemplo inicial, temos então
$$\complement_{A}^{B}=\{4,5,6\}$$
Temos ainda o conceito de conjunto complementar em relação a um conjunto universo \(U\): sendo \(A\) um conjunto dentro de \(U\), então indicando por
$$A^{\complement}$$
é o conjunto de todos os elementos de \(U\) que não são elementos de \(A\), isto é, a diferença
$$U-A$$
Por exemplo, se \(U=\mathbb{N}\) e \(A\) for o conjunto dos naturais pares, então o seu complementar \(A^{\complement}\) claramente é o conjunto dos naturais ímpares, isto é
$$A=\{2,4,6,8,10,\ldots\}$$
e
$$A^{\complement}=\{1,3,5,7,9,\ldots\}$$
Podemos ver que
$$A\cup A^{\complement}=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,\ldots\}=\mathbb{N}$$
Em linhas mais gerais, a união de um conjunto com o seu complementar resulta no conjunto universo inteiro:
$$A\cup A^{\complement}=U$$
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Conjuntos Numéricos