Escolha um curso e encontre a melhor opção pra você.
Faça a sua adesão e siga os passos para o processo seletivo.
Aí é só realizar a matrícula e mandar ver nos estudos.
A elipse, assim como a circunferência, a parábola e a hipérbole, é definida como uma cônica (ou seção cônica). Este nome vem, no caso da elipse, do fato de que ela é obtida a partir da interseção de um plano com a superfície lateral do cone, como mostra a figura abaixo.
Figura 1 - Interseção de um plano com a superfície lateral do cone. Como resultado, tem-se a elipse.
A figura abaixo nos ajuda a entender melhor quais os elementos de uma elipse.
Figura 2 - Elipse com seus elementos principais.
Assim, na elipse, temos:
Uma propriedade muito importante da elipse, a qual não deve ser esquecida, é que ela é o conjunto dos pontos P do plano tais que a soma das distâncias de P a dois pontos fixos \(F_{1}\) e \(F_{2}\) (ou seja, os focos) é constante.
Reescrevendo isso em forma de equação, temos:
\(\overline{PF_{1}}+\overline{PF_{2}}=constante=2a\)
De forma mais simples, a soma dos comprimentos das linhas vermelhas na figura 2 é constante, qualquer que seja o ponto P.
Além disso, temos que a seguinte relação pitagórica também é válida:
\(a^{2}=b^{2}+c^{2}\)
A equação reduzida de uma elipse de semieixos “a” (maior eixo) e “b” (menor eixo) é:
\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\)
Atenção! A equação acima é válida quando o eixo maior está contido no eixo x. Caso o eixo maior (ou seja, o que tem medida 2a), esteja contido no eixo y, a equação fica da seguinte maneira:
\(\frac{x^{2}}{b^{2}}+\frac{y^{2}}{a^{2}}=1\)
Chamamos de excentricidade de uma elipse a seguinte relação:
\(e=\frac{c}{a}\), sendo que \(0\leq e\leq 1\)
Note que quando a excentricidade for nula (e=0), teremos o caso onde c=0 e, então, a=b. Assim, neste caso, teremos uma circunferência. Portanto, uma elipse de excentricidade nula é uma circunferência!
Já no caso da excentricidade possuir seu valor máximo (e=1), teremos c=a e, então, “b” será nulo. Assim, tem-se que nesta situação, a elipse se torna um segmento de reta, já que um dos semieixos (ou seja, o “b”) tem valor nulo.
Figura 3 - Mudança no formato da elipse conforme a excentricidade.
Agora que estudamos toda a teoria, vamos aplicar com os exemplos.
Exemplo 1: Determine o centro, a medida dos eixos menor e maior e a distância focal da elipse de equação \(16x^{2}+25y^{2}-400=0\).
Resolução: Primeiro, vamos deixar a equação da elipse na forma como foi vista anteriormente.
\(16x^{2}+25y^{2}-400=0\rightarrow 16x^{2}+25y^{2}=400\rightarrow \frac{16x^{2}}{400}+\frac{25y^{2}}{400}=1\rightarrow \frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1\rightarrow \frac{x^{2}}{(5)^{2}}+\frac{y^{2}}{(4)^{2}}=1\)
Assim, fica fácil notar que:
Para determinar a distância focal, fazemos:
\(a^{2}=b^{2}+c^{2}\rightarrow 5^{2}=4^{2}+c^{2}\rightarrow c^{2}=9\rightarrow c=3\)
Assim, a distância focal é \(2\cdot 3=6\).
Exemplo 2: Obtenha a equação da elipse, o eixo maior, o eixo menor, a excentricidade, sabendo os focos \(F_{1}=(2;0)\) e \(F_{2}=(-2;0)\) e a curva que passa pelo ponto P (2; 3).
Resolução: Ilustrando a situação, temos:
Figura 4 - Elipse do exemplo 2.
\(\overline{PF_{1}}+\overline{PF_{2}}=2a\rightarrow \sqrt{(2+2)^{2}+(3-0)^{2}}+\sqrt{(2-2)^{2}+(3-0)^{2}}=2a\rightarrow \sqrt{16+9}+\sqrt{9}=2a\rightarrow 5+3=2a\rightarrow a=4\)
Agora, sabendo que a distância focal é igual a 4 (distância entre os dois focos), calculamos “b”:
\(4^{2}=(2)^{2}+b^{2}\rightarrow b=2\sqrt{3}\)
Assim, temos que:
A equação da circunferência com centro na origem e cujo raio é igual ao semieixo menor da elipse \(x^{2}+4y^{2}=4\) é:
