Uma inequação exponencial é toda desigualdade do tipo que envolve funções exponenciais, como por exemplo
$$2^{x}\leq4,\quad3^{2x}>9^{x+1},\quad125^{x-1}\geq1,\quad64^{3x+2}<16^{x^{2}}$$
A resolução de uma inequação exponencial se assemelha bastante a de uma equação exponencial. A ideia inicial consiste em deixar as potências envolvidas na mesma base e, ainda, apenas uma potência em cada lado da desigualdade.
Além disso, sendo \(a\) a base da potência, então
- se \(a>1\), mantém-se o sinal de desigualdade, por exemplo:
$$a^{x}<a^{y}\Rightarrow x<y$$ - se \(0<a<1\), inverte-se o sinal de desigualdade, por exemplo:
$$a^{x}<a^{y}\Rightarrow x>y$$
Consideremos então a inequação
$$2^{x}\leq16$$
Reescrevendo 16 como uma potência de 2 através da decomposição em fatores primos, temos que
$$2^{x}\leq2^{4}$$
Note que a base vale 2 e é maior que 1, logo, iremos manter o sinal de desigualdade:
$$2^{x}\leq2^{4}\Rightarrow x\leq4$$
Portanto, a solução final da inequação será
$$S=\{x\in\mathbb{R}\mid x\leq4\}$$
Tomando-se agora a inequação exponencial
$$\left(\frac{1}{9}\right)^{x+1}<\frac{1}{27}$$
Podemos reescrever \(9=3^{2}\) e \(27=3^{3}\), assim
$$\left[\left(\frac{1}{3}\right)\right]^{x+1}<\left(\frac{1}{3}\right)^{3}$$
isto é
$$\left(\frac{1}{3}\right)^{2\cdot(x+1)}<\left(\frac{1}{3}\right)^{3}$$
$$\Rightarrow\left(\frac{1}{3}\right)^{2x+2}<\left(\frac{1}{3}\right)^{3}$$
como a base vale
$$\frac{1}{3}$$
que é um número entre 0 e 1, então invertemos o sinal de desigualdade ao trabalharmos com os expoentes:
$$2x+2>3$$
e obtemos uma inequação do 1º grau, cuja resolução se dá isolando-se a incógnita
$$2x>3-2\Rightarrow2x>1$$
Portanto,
$$x>\frac{1}{2}$$
Logo,
$$S=\left\{x\in\mathbb{R}\mid x>\frac{1}{2}\right\}$$
📚 Você vai prestar o Enem? Estude de graça com o Plano de Estudo Enem De Boa 📚