Teorema de Pitágoras

Um triângulo retângulo é aquele que possui um ângulo reto, ou seja, um ângulo cuja medida é igual a 90º.

Na figura a seguir, o triângulo \( ABC\) é retângulo em \( A\), ou seja, o ângulo \( B\hat{A}C\) vale 90º.

Triângulo retângulo.

O maior lado do triângulo retângulo é chamado de hipotenusa e os outros dois lados (que sempre são adjacentes ao ângulo reto) são ditos os catetos do triângulo retângulo.

No triângulo \( ABC\) ilustrado acima, temos então que o lado \( \bar{BC}\) é a sua hipotenusa, enquanto que os lados \( \bar{AB}\) e \( \bar{AC}\), os seus catetos.

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O Teorema de Pitágoras é um dos resultados mais importantes da matemática e diz que: o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.

Ou seja, considerando o triângulo \( ABC\) a seguir com hipotenusa medindo \( a\), e catetos medindo \( b\) e \( c\), então

$$ a^{2}=b^{2}+c^{2}$$

É evidente que o Teorema de Pitágoras só vale para triângulos retângulos. Além disso, a recíproca também é verdadeira, isto é: se \( a,b\) e \( c\) forem as medidas dos lados de um triângulo, com \( a\) a medida do maior lado e ainda, se a igualdade

$$ a^{2}=b^{2}+c^{2}$$

for satisfeita, então este triângulo é um triângulo retângulo.

Como dito anteriormente, há diversas aplicações e consequências imediatas do Teorema de Pitágoras. A seguir, apresentaremos duas delas que são bastante usadas na geometria plana.

Diagonal de um quadrado

Consideremos o quadrado \( ABCD\) a seguir de lado de medida \( \ell\):

Evidentemente, por ser um quadrado, todos os seus lados possuem a mesma medida e, além disso, cada ângulo interno é um ângulo reto. Assim, tomando-se a diagonal \( \bar{BD}\) de medida \( d\), formamos o triângulo \( ABD\) que é retângulo em \( A\).

Aplicando-se o Teorema de Pitágoras, obtemos uma expressão que nos dá a medida da diagonal do quadrado em função da medida do seu lado:

$$ d=\ell\sqrt{2}$$

Altura de um triângulo equilátero

Considerando o triângulo equilátero \( ABC\) a seguir e a altura \( \bar{AH}\) relativa ao lado \( \bar{BC}\), temos que o ela também se trata da mediana (pois é um triângulo equilátero), ou seja, se a medida do lado do triângulo for igual a \( \ell\), então \( BH=\frac{\ell}{2}\):

Assim, ao se aplicar o Teorema de Pitágoras no triângulo \( ABH\), retângulo em \( H\) com \( AH=h\), temos uma fórmula para a altura de um triângulo equilátero a partir da medida do seu lado:

$$ h=\frac{\ell\sqrt{3}}{2}$$

Considerando o triângulo \(ABC\) retângulo em \(A\) a seguir

Se \(AC=b,AB=c,BC=a\) e as projeções dos catetos \(CH\) e \(HB\) medirem \(m\) e \(n\), respectivamente, temos das relações métricas no triângulo retângulo que

$$b^{2}=a\cdot m$$

e

$$c^{2}=a\cdot n$$

além disso, claramente $$a=m+n$$. Somando as duas equações acima, obtemos

$$b^{2}+c^{2}=a\cdot m+a\cdot n=a\cdot(\underbrace{m+n}_{a})$$

ou seja

$$b^{2}+c^{2}=a\cdot a\Rightarrow b^{2}+c^{2}=a^{2}$$

de onde fica demonstrado o Teorema de Pitágoras.

Além de ter uma quantidade muito grande de aplicações, o Teorema de Pitágoras também é um caso particular do Último teorema de Fermat, elaborado pelo então matemático Pierre de Fermat que diz que, se \( n\) for um número inteiro maior ou igual a 3, então não existem \( x,y\) e \( z\) números naturais tais que:

$$ x^{n}+y^{n}=z^{n}$$

A demonstração desse teorema levou mais de 358 para ser solucionada.

Para \( n=2\) na expressão acima, temos o Teorema de Pitágoras propriamente dito.